Comprendre l’équivalence mathématique : bien plus que du calcul

Au primaire, les élèves apprennent très tôt à résoudre des équations.

3 + 4 = □

Quels sont les objectifs d’enseignement derrière de tels exercices ?

L’intention pédagogique première s’avère fort probablement le développement des compétences arithmétiques.

• Comprendre que le symbole « + » signifie « mettre ensemble »

• Développer des stratégies efficientes pour déterminer la somme lorsque le fait additif n’est pas encore automatisé (ex. : surcomptage avec support digital)

• Automatiser les faits arithmétiques, soit récupérer en mémoire à long terme que 3 + 4 donne 7.

C’est tout ?

Si vous avez porté attention au titre de ce billet de blogue, vous aurez probablement noté que non. Ce n’est pas tout.

La résolution d’équations s’appuie sur un concept fondamental qu’on effleure à peine en lisant la phrase mathématique : « trois plus quatre égale… sept ».

Le terme « égal » étant porteur de sens, on pourrait croire que cette simple lecture suffit. Que grâce à elle, l’élève comprendra presque implicitement la signification profonde du signe d’égalité. Pourtant, lorsqu’ils sont contraints d’expliquer la signification du signe « = » avec d’autres mots, une proportion importante d’élèves, soit plus de 80 % des jeunes de 6 à 10 ans (McNeil et al., 2019; Fyfe & Rittle-Johnson, 2017), le définissent comme signifiant « calcule » ou « la réponse » plutôt que « les deux côtés sont pareils / ont la même valeur / sont équivalents ». Or, sans mauvais jeu de mots, toutes ces définitions ne sont pas égales.

Comprendre l’équivalence mathématique dépasse les compétences arithmétiques.

C’est comprendre qu'une relation est établie entre deux quantités de même valeur, pouvant se substituer l’une à l’autre.

Le signe « = » : une relation, pas une consigne

Le signe d’égalité est très souvent rencontré dans une structure « opérations = réponse » que plusieurs chercheurs nomment « équations standards ». Les équations standards, comme :

6 + 2 = □

ou

5 + □ = 9 (eh oui ! les fameux termes manquants)

sont très fréquentes dans les manuels scolaires du primaire (Powell, 2012).

Conséquemment, l’élève apprend à réaliser une succession d’actions :

je vois une opération → je calcule → j’écris la réponse à droite du « = »

Cette interprétation n’est souvent pas problématique au départ, mais devient toutefois insuffisante lorsque les équations se complexifient.

Prenons :

3 + 4 = 5 + □

Un élève accédant à la conception relationnelle du signe d’égalité cherchera la quantité qui rend les deux côtés équivalents : 2.

Mais un élève croyant que « = » signifie « donne la réponse » pourrait additionner les termes situés à gauche et répondre « 7 », sans se soucier du 5, ou encore additionner tous les termes, de part et d’autre du « = », obtenant ainsi « 12 ».

Ces réponses ne témoignent pas d'une simple erreur de calcul. Elles révèlent des stratégies incorrectes, probablement associées à une conception opérationnelle (plutôt que relationnelle) du signe d’égalité.

Les équations non standards

Les équations non standards présentent une structure moins usuelle.

Par exemple :

• Avec l’opération à droite du « = »  : 8 = 3 + □

• Avec des opérations de part et d’autre du « = » : 3 + □ = 5 + 2

• En retirant entièrement les opérations : □ = 4

Face à ces équations, l'élève ne peut plus simplement interpréter le signe d’égalité comme signifiant « calcule » ou « la réponse ». Les équations non standards offrent ainsi des occasions de développer une conception plus élaborée et flexible :  la conception relationnelle comparative du signe d’égalité.

Une compréhension qui se construit progressivement

Rittle-Johnson et al. (2011) et Matthews et al. (2012) proposent un modèle distinguant quatre niveaux de compréhension du signe d’égalité comme indicateur de l’équivalence mathématique, allant d’une conception opérationnelle rigide à une conception relationnelle comparative plus avancée.

Le plus haut niveau de conception est à la portée des élèves du primaire et d’ailleurs, rien n’indique qu’une conception opérationnelle initiale constitue un passage obligé. Cette conception pourrait être le produit de l’exposition limitée (ou en proportion beaucoup plus importante) aux équations standards, particulièrement au début du primaire.

Quoi qu’il en soit, la conception relationnelle comparative devient particulièrement importante au secondaire, puisqu’elle constitue une base essentielle au développement du raisonnement algébrique. Des travaux indiquent d'ailleurs que la compréhension de l'équivalence mathématique est associée à la réussite ultérieure en mathématiques et en algèbre (Matthews & Fuchs, 2020; McNeil et al., 2019).

Enseigner l'équivalence dès la 1re année primaire (CP)

Pour développer une compréhension relationnelle de l'égalité, Sarah Powell (2012) recommande d’exposer les élèves aux équations non standards, et ce, dès la 1re année primaire. Bien évidemment, ces premières équations non standards se veulent simples, au plan arithmétique, mais la variation du format d’équations dès le début de l’enseignement formel des mathématiques pourrait favoriser un accès plus précoce à la conception relationnelle du signe d’égalité dont la signification profonde devient plus saillante en diversifiant les formats d’équations.

a = a

a + b = c

a = b + c

a + b = b + c

Pour rendre l’apprentissage accessible, n’hésitons pas à :

• associer les équations à des objets de manipulation (blocs, jetons, balance)

• associer le signe d’égalité à un geste naturel d’équivalence (rappel de la balance)

• contrôler la taille des termes et des sommes (d’abord inférieurs à 5, puis à 10)

• sélectionner l’opération la plus simple (l’addition) dans un premier temps

Déterminer si vos élèves accèdent à cette conception avancée

Pour corriger un tir, toujours faut-il savoir qu’il a raté la cible.

Dans ma pratique privée, je travaille la cognition mathématique avec la grande majorité de mes clients. Pourtant, suite à toutes ces lectures, force était d’admettre que je ne savais pas exactement lesquels auraient besoin que nous ciblions cet objectif… et que je n’avais pas d’outil clé en main qui me permettrait de déterminer où chacun d’eux se situe dans le continuum décrit dans les travaux de Rittle-Johnson et collègues (Rittle-Johnson et al., 2011; Matthews et al., 2012).

J'ai donc développé Équations non standards : évaluation critériée de l'équivalence mathématique, un outil destiné aux élèves de la 2e (CE1) à la 6e année du primaire.

Il comprend :

• un questionnaire permettant d'explorer différents types d'équations non standards;

• un guide d'utilisation détaillant les fondements théoriques, l'administration, la cotation et l'interprétation;

• un fichier Excel automatisé pour la saisie, l'analyse et la synthèse des résultats.

L'outil est critérié et ne constitue pas une mesure normative ni un outil diagnostique.

Principales références consultées

Fyfe, E. R., Byers, C., & Nelson, L. J. (2022). The benefits of a metacognitive lesson on children's understanding of mathematical equivalence, arithmetic, and place value. Journal of educational psychology, 114(6), 1292–1306. https://doi.org/10.1037/edu0000715

Fyfe, E. R., & Rittle-Johnson, B. (2017). Mathematics practice without feedback: A desirable difficulty in a classroom setting. Instructional Science, 45, 177–194. https://doi.org/10.1007/s11251-016-9401-1

Grenell, A., Nelson, L. J., Gardner, B., & Fyfe, E. R. (2022). Children's confidence using incorrect strategies on mathematical equivalence problems. Cognitive development, 62, 101167. https://doi.org/10.1016/j.cogdev.2022.101167

Matthews P., & Fuchs L. S. (2020). Keys to the gate? Equal sign knowledge at second grade predicts fourth grade algebra competence. Child Development, 91, 14–28. 10.1111/cdev.13144

Matthews, P., Rittle-Johnson, B., McEldoon, K., & Taylor, R. (2012). Measure for Measure: What Combining Diverse Measures Reveals about Children’s Understanding of the Equal Sign as an Indicator of Mathematical Equality. Journal for Research in Mathematics Education, 43(3), 316–350. https://doi-org.biblioproxy.uqtr.ca/10.5951/jresematheduc.43.3.0316

McNeil NM, Hornburg CB, Devlin BL, Carrazza C, & McKeever MO (2019). Consequences of individual differences in children’s formal understanding of mathematical equivalence. Child Development, 90(3), 940–956. 10.1111/cdev.12948 [PubMed: 28902386]

Powell S. R. (2012). Equations and the equal sign in elementary mathematics textbooks. The Elementary school journal, 112(4), 627–648. https://doi.org/10.1086/665009

Powell, S. R., Driver, M. K., & Julian, T. E. (2015). The Effect of Tutoring With Nonstandard Equations for Students With Mathematics Difficulty. Journal of learning disabilities, 48(5), 523–534. https://doi.org/10.1177/0022219413512613

Rittle-Johnson, B., Matthews, P. G., Taylor, R. S., & McEldoon, K. L. (2011). Assessing Knowledge of Mathematical Equivalence: A Construct-Modeling Approach. Journal of Educational Psychology, 103(1), 1–20. https://doi.org/10.1037/a0021334