La traduction d'énoncés algébriques

Au secondaire, les élèves s’attaquent à l’algèbre. Ils apprennent à simplifier des expressions et à résoudre des équations. Peu à peu, ils s’approprient les conventions de ce nouveau système d’écriture. L’enseignement se veut progressif : les exercices se complexifient pas à pas, jusqu’à ce que l’on considère les élèves prêts à transférer ces compétences.

En mathématiques, la généralisation et le transfert s’actualisent généralement dans des activités de résolution de problèmes. En voici un exemple :

Dans un parc, on aménage un jardin rectangulaire. La longueur du jardin est égale au triple de sa largeur.
Le périmètre du jardin est de 96 mètres. Trouve les dimensions du jardin.

Or, pour réussir ce problème, l’élève doit maîtriser deux compétences bien distinctes :

• traduire le problème en équation algébrique ;

• résoudre l'équation.

Ce problème mobilise à la fois des relations numériques explicites, fournies dans l’énoncé, et une relation géométrique implicite : le rappel de la formule du périmètre d’un rectangle. La traduction peut alors représenter un obstacle majeur. Et comme dans tout système en cascade, si l’équation n’est pas correctement posée, elle ne pourra tout simplement pas être résolue.

Une activité complexe à forte charge langagière et mathématique

Face au problème du jardin rectangulaire, l'élève doit traduire du verbal au symbolique (V → S). Il doit comprendre les relations et parvenir à les représenter symboliquement. Voici d'autres exemples de traduction V → S :

• « Le nombre d’adultes (a) est égal à la différence entre les filles (f), plus nombreuses, et les garçons (g), moins nombreux. »
  → a = f - g

• « L’apothème de la base pentagonale mesure 3 cm de moins que le double de la hauteur du prisme. »
  → a = 2h – 3 ou encore a + 3 = 2h

Dans ces exemples, plusieurs relations sont imbriquées (comparaison, équivalence, multiplication, différence) et l’élève doit bien comprendre le vocabulaire précis utilisé dans les formulations verbales.

Le parcours scolaire de l’élève au secondaire est ponctué d'occasions nécessitant la lecture d'un problème à énoncé verbal et la traduction sous la forme d'une expression ou d'une équation algébrique. À l'inverse, la traduction du symbolique vers le verbal (S → V) semble bien moins fréquente.

• Formule un énoncé cohérent avec l’expression suivante :
  → 3x – 6 = 9

Bien entendu, cette traduction peut mener à la formulation de divers énoncés cohérents, lesquels peuvent être contextualisés ou non :

·       « Le triple de mon âge moins six donne neuf. »

·       « Trois fois le nombre de bonbons de mon frère moins six est égal à neuf. »

·       « Six de moins que le triple d'un nombre est équivalent à neuf. »

Quoi qu’il en soit, les travaux de Cañadas et al. (2018) suggèrent que plusieurs élèves ne parviennent pas à formuler des énoncés congruents à partir d’une équation algébrique. Cette activité s’avère difficile même pour de jeunes adultes ayant complété leur secondaire et suivant une formation en enseignement.

Comme quoi l’algèbre ne nous parle pas d’emblée.

L’algèbre : un langage

« Parler l’algèbre » ne semble donc pas se développer implicitement. Ce langage formel, qui permet d’exprimer et d’organiser des relations mathématiques, repose sur la maîtrise de nombreux termes mathématiques et de structures syntaxiques particulières, notamment les fameuses phrases comparatives. Formuler de manière précise et concise, ça s'apprend. Donner du sens à un énoncé algébrique symbolique aussi. Mais pour y parvenir, tout semble indiquer l'importance d'un enseignement explicite.

Le rôle central du vocabulaire mathématique

Une traduction précise et concise repose d’abord sur la compréhension d'un vocabulaire permettant d’exprimer :

• des relations numériques
  (la moitié de, un multiple de, la somme de, le produit de, trois fois plus que) ;

• des relations géométriques
  (aire, périmètre, volume, pentagone régulier, cube) ;

• des relations d’égalité et d’inégalité
  (est égal à, est supérieur à, ne dépasse pas, est au moins).

Lorsque la récupération du sens de ces mots n’est pas fluente, l’élève peut rapidement se retrouver en surcharge cognitive et ne plus parvenir à traduire les différentes relations présentes dans un même énoncé. Si le sens de certains termes n’est pas connu, la traduction échoue assurément.

Différents types d’erreurs

Molina et al. (2017) proposent une classification des erreurs de traduction en trois catégories :

• erreurs de gestion des données

• erreurs arithmétiques

• erreurs algébriques

Dans chacune de ces catégories se déclinent plusieurs erreurs précises. Par exemple, en ce qui concerne la gestion des données, l’élève peut soit omettre une donnée incluse dans l’énoncé à traduire, soit insérer une donnée superflue.

Il s’avère que les erreurs arithmétiques sont les plus courantes (autant dans la traduction du V → S que du S → V), mais que les erreurs de gestion de données sont également fréquentes dans les traductions du S → V.

Complexité croissante

D’autres travaux ont mis en évidence la charge cognitive élevée ressentie par des élèves de secondaire 2 et 3 lors de la traduction d’énoncés verbaux implicites, lesquels nécessitent un recodage de l’information avant d’être posés en équations (Pawley et al., 2005).

• « Il y a cinq fois plus de kangourous que de moutons à la ferme. »
  → Recodage : « Quelle quantité doit être multipliée par cinq pour que les quantités de kangourous et de moutons soient égales ? On doit multiplier par cinq la plus petite des deux quantités… donc les moutons. Je traduis ainsi : 5m = k ».

Or, si un élève peine encore à comprendre comment traduire « cinq fois plus qu’un nombre » en « 5x » ou bien à comprendre simplement quel animal est en plus grande quantité dans l’énoncé « Il y a cinq fois plus de kangourous que de moutons à la ferme », l’exercice de traduction d’équations implicites ne sera pas à la portée de l'élève.

Ces constats soulignent l’importance d’un enseignement explicite, progressif et structuré de la traduction d’énoncés algébriques.

Vers un enseignement plus explicite de la traduction algébrique

Enseigner la traduction d’énoncés algébriques implique notamment de :

• cibler et enseigner explicitement le vocabulaire mathématique en jeu ;

• travailler le passage du réceptif (V → S) à l’expressif (S → V) ;

• proposer des tâches graduées, allant d’expressions simples à des relations multiples ;

• rendre visibles les relations implicites nécessitant un recodage.

C’est seulement alors qu’on pourra s’attendre à un transfert réussi dans des situations de résolution de problèmes.

Pour aller plus loin

Si vous souhaitez explorer des pistes concrètes pour enseigner explicitement la traduction d’énoncés algébriques, j’ai développé une séquence progressive spécifiquement conçue à cet effet.

Principales références consultées

Cañadas, M.C., Molina, M. & del Río, A. (2018). Meanings given to algebraic symbolism in problem-posing. Educ Stud Math 98, 19–37. 

Castro, E., Cañadas, M. C., Molina, M., & Rodríguez-Domingo, S. (2022). Difficulties in semantically congruent translation of verbally and symbolically represented algebraic statements. Educational Studies in Mathematics, 109, 593–609.

Molina, M., Rodríguez-Domingo, S., Cañadas, M. C., & Castro, E. (2017). Secondary School Students’ Errors in the Translation of Algebraic Statements. International Journal of Science and Mathematics Education, 15, 1137–1156.

Pawley, D., Ayres, P., Cooper, M., & Sweller, J. (2005). Translating words into equations: A cognitive load theory approach. Educational Psychology, 25(1), 75–97.